Miért éppen ezen függvényeket alkalmazzuk?
Amikor össze akarjuk mérni két rendszer mozgását, a legegyszerűbben a fényórával tehetjük meg.
Ez egy elvi szerkezet, amelyben két, egymással párhuzamos, egymáshoz viszonyítva nyugvó tükör között, a tükrök síkjára merőleges irányban c sebességgel pattog a fény egy piciny idő hosszúságú adagja.
Ha a tükröket összekötő egyenesre, azaz a fény pattogásának útvonalára merőleges irányban v sebességgel mozgó megfigyelőként szemléljük ezt a pattogást, akkor a c sebességet minél jobban megközelíti a v sebesség, amivel elmozdulni látjuk a tükröket, akkor egy-egy visszapattanás helyét a hozzánk kötött koordináta rendszerben mindig v sebességgel eltoltan "odébb" látjuk, még akkor is ha egyszerre két, egymással ellenkező irányba mozgó tükörpárt figyelünk meg:
Az ábrán alul lévő tükröknél történt felvillanás fénye halad a felső tükrök felé, eközben a tükrök balra és jobbra mozognak hozzánk, mint megfigyelőhöz viszonyítva. Ha feltételezzük, hogy minden rendszerből megfigyelve ugyanazon a téridőponton van a felvillanás fénye, akkor az út arányok a Lorentz-féle gammát adják eredményül.
Csak egy nagy baj van ezzel az aránnyal: Csupán a látszólagos sebességek aránya.
Azaz miután a vákuumban haladó fényt nem érzékelhetjük, csak a tükrök relatív helyzeteiből feltételezhetjük, hogy találkozniuk kellett a tükröknek a fénnyel, különben nem verődhetett volna vissza a fény.
Ezért a tükörtől-tükörig tartó fényút csak feltételezetten "átlós irányú".
Ha pedig a tükrök anyaga kicsit szórja a fényt a visszaverődéskor, akkor megfigyelhető a visszaverődési pont a rendszerünkben.
Igen ám! De a visszaverődési pontról hozzánk érkező fény frekvenciája a forrás távolodásakori relatív fénysebességnek megfelelően
f'=f*gyök((c-v)/(c+v))
és így a relatív fénysebessége a forrás távolodása révén:
c'=c*gyök((c-v)/(c+v))
ahol az f a fénynek a hozzánk viszonyítva álló forrásból történő villanáskori frekvenciája.
Ha pedig azt a f'' frekvenciát nézzük, amit a forrásánál nyugvó műszerrel f frekvenciájúnak mérnek, és v sebességgel elhaladva pont "előttünk" villantva, indult felénk,
akkor frekvenciája v=0,8c esetében f"=f*0,6 értékű, azaz a haladási irányra merőleges látszólagos d sebességének és a c sebességnek a 1/ß=d/c hányadosa által meghatározott értékű. Hogyan kaphatjuk meg a látszólagos d sebesség kihagyásával ezt az arányt, közvetlenül a c és v sebességekből?
Miután az ábrán láthatóan a "c", "v", és "d" sebességekkel időegység alatt megtett utak aránya azonos a sebességek arányával, és ez egy derékszögű háromszög oldalainak arányával megegyezik: c²=d²+v² ahonnan:
d=gyök(c²-v²), így az 1/ß = d/c arány:
1/γ=gyök(c²-v²)/c=
1/γ=gyök((c²-v²)/c²)=
1/γ=gyök((c²/c²-v²/c²)=
1/γ=gyök((1-v²/c²) =>
γ=1/gyök((1-v²/c²)
azaz a Lorentz-transzformációban alkalmazott gamma függvény reciproka szerint változik a "pont merőleges" irányban kisugárzott f frekvenciájú fény detektálási frekvenciája. f"=f/γ=f*gyök((1-v²/c²)
Azaz amint a távolodó tükrökről érkező fény frekvenciájánál a Doppler-effektus függvénynek a gammával módosított, úgynevezett Relativisztikus Doppler-effektus értékének megfelelően alakult a detektált frekvencia a relatív mozgás következtében, ugyanúgy a merőleges esetben mérhető f"=f/γ=f*gyök((1-v²/c²) frekvencia változásból következően szintén úgy számolandó a relatív fénysebesség értéke:
c'=c/γ=c*1/gyök((1-v²/c²) és természetesen egyben c'=c/γ=c*d/c=d
Azaz a "valós" és a "látszólagos" fénysebesség elnevezéseknek nincs logikai értelme, miután minden rendszerben az ott nyugvó forrástól távolodó fény sebességére igaz az állandó c= 299 792 458 m/s fénysebesség, és a megfigyelőhöz relatívan v sebességgel mozgó forrásból érkező fény sebessége minden esetben c-től eltérő értékű c' relatív fénysebesség.
A relatív fénysebesség alkalmazásának következményei.
Nyilvánvaló az is, hogy ha mérjük egy adott forrásból érkező fény frekvenciáját és az ismert c=f*λ függvény helyett a c'=f*λ sebességet helyettesítjük be, akkor λ=c'/f függvény, közvetlenül képezi a forrásnál mérhető hullámhossz értékét. Azaz ez azt mutatja, hogy a fizikai valóságban nincs se rövidülés, nincs idődilatáció sem. Miután ezek a látszatok, csak a relatív c és v sebességek összemérhetőségéből fakadó torzulás okozta látszatok. Ennek demonstrálására a fényóra mintájára készítsünk "jelórát", amelyben a jel terjedési sebességet tetszőleges állandó sebességű jelhordozóval biztosítunk! Ekkor ugyanúgy megkapjuk a gamma függvényét, hanggal, gyalogos futárral, teknősbékával, mint jelhordozókkal.
Sőt! A relatív sebesség amint közelíti a jelhordozó sebességét, azaz a jel terjedési sebességét, ugyanazon gamma értékeket kapjuk, és ezzel ugyanazon transzformációkat, mint a fény esetében. Hogy mennyire igaz az, hogy Einstein, Lorentz csupán a fény terjedési sebességéből adódó látszatot írták le, a fényóra mintájára, általánosítva "jelórára" levezetem a jel továbbítási sebességnek és a relatív mozgás sebességének viszonyából kialakuló jeltorzítási tényezőt, azaz Lorentz gammáját, Einstein ßétáját.
A fényóra és ezzel a jelóra működése: Két, egymással párhuzamos tükör között, a tükrök síkjára merőleges irányban fény (jel) pattog a tükrök között. Az ehhez a fényórához (jelórához) relatív sebességgel mozgó megfigyelése szerint a mozgó tükrök között pattogó fény (jel) oda-vissza útján, nem egy tengelyen, hanem egymással szöget bezáró tengelyeken haladónak látszik. Ahol a tengelyek között bezárt szög a relatív sebesség függvénye a lentebb leírtak szerint.
A posztulátum ilyetén alakul: a jel terjedési sebessége minden forráshoz és minden megfigyelőhöz relatívan ugyanazon állandó értékű. (itt jelölve: Z)
A jel a forrástól izotropikusan, azaz minden irányban azonos relatív sebességgel terjed a forrás rendszerében, és szintén izotropikus relatív terjedési sebességűnek tekintjük a megfigyelőhöz relatívan is.
A mérés (megfigyelés) során a jeltovábbítási sebesség legyen Z, és a mozgást végző relatív sebessége K, akkor egységnyi idő alatt z és k távolságokat tesznek meg.
Ezzel az arányításukhoz R relatív jeltovábbítási sebességhez tartozó r távolsággal képzett derékszögű háromszög oldalainak aránya:
z²=r²+k² és Z²=R²+K²
innen a jeltovábbítás relatív sebessége R²=Z²-K² összefüggésből következően:
R=gyök(Z²-K²)
a jel torzulásának mértéke pedig ß=Z/R=1/(R/Z)
R/Z=gyök(Z²-K²)/Z azaz
R/Z=gyök((Z²-K²)/Z²) azaz
R/Z=gyök(Z²/Z² - K²/Z²) azaz
R/Z=gyök(1 - K²/Z²) ezt behelyettesítve Z/R=1/(R/Z) függvényébe
Z/R= 1/gyök(1 - K²/Z²)
amennyiben a mozgás sebességét v-vel jelöljük, akkor K helyére v-t kell helyettesíteni ekkor a torzulás mértékét:
ß=Z/R= 1/gyök(1 - v²/Z²) függvény adja
amennyiben a jel továbbítás Z sebessége a h hangsebesség, a Z helyébe h helyettesítendő, így a jeltorzulás mértékét:
ß=h/R= 1/gyök(1 - v²/h²) függvény adja
abban az esetben ha a jel továbbítását a c sebességű fény végzi, Z helyébe c-t kell helyettesíteni a jeltorzulás mértékét meghatározó függvényben:
ekkor ß=c/R= 1/gyök(1 - v²/c²) függvényt kapjuk.
amennyiben a jeltorzulási arányt ß-val jelöljük akkor
ß=c/R= 1/gyök(1 - v²/c²) függvényt, vagy röviden ß= 1/gyök(1 - v²/c²) függvényt kapjuk.
Azaz a Lorentz transzformáció gammájával azonos alakú függvényt ßétával jelölten, ahogyan 1905-ben:
ON THE ELECTRODYNAMICS OF MOVING BODIES
By A. Einstein
June 30, 1905
Albert Einstein jelölte a cikk 3. §-ának végén (Forrás: http://www.fourmilab.ch/etexts/einstein/specrel/www/ )
Mint látható, ez szimpla vektoralgebrai következmény. Azaz bármekkora a méréshez felhasználható jel sebessége, az ezt a sebességet megközelítő sebességű relatív mozgások esetében, a jel által továbbított látvány rövidülést mutat.
Az elején tett alapfelvetések (posztulátumok) értelmében, pedig a méréssel kapott rövidüléshez dilatálódó idő tartozik az ismert függvények alkalmazása esetén.
Ez a bemutatási mód, lehetővé teszi az iskolai (egyetemi) demonstrációk elkészítését tetszőleges jelátviteli sebességű, akár teknősbéka felhasználásával.
A kapott mérési eredmények önmagukért beszélnek.
A méréshez használt jel, esetünkben a fény sebességéből és a mozgás relatív sebességéből képzett (Lorentz-nél gamma, Einsteinnél béta) ß= 1/gyök(1 - v²/c²) függvény
csupán a c, d és v sebességek alkotta vektor háromszög arányait képezi le, amit az is jól mutat, hogy
ß= 1/gyök(1 - v²/c²) = 1/sin(arccos(v/c)) = 1/cos(arcsin(v/c)) egyszerű trigonometriai összefüggés képezi ezt az arányítást.
Mi az értelme ennek az arányításnak?
Az az értelme, hogy két, egymáshoz relatívan mozgó egyike sem fektethet mérőrudat a másikhoz annak érdekében, hogy a másik hosszát megmérje. Ezáltal minden hossz és távolság mérést kizárólag ß arányú hibával lehetséges elvégezni. Azaz amíg a mérésnél használt jel, esetünkben a fény vagy a hang a mérendő tárgyról a mérést végzőhöz eljut, a mérés tárgya elmozdul az álló test méréséhez viszonyítva mindig ß arányú mérési hibát okozva. Tehát nem azért mérhető rövidebbnek egy távolság, egy méret mert kontrahálódott volna, hanem azért mert a ß arányú mérési hibával ß mértékével rövidebbnek mérjük, mérhetjük.
